Dekomposisi Matriks dengan Metode Doolittle

Suatu persamaan linear dapat diselesaikan secara langsung. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan dekomposisi LU. Pada metode ini suatu sistem persamaan linier yang berbentuk:

 

difaktorisasi menjadi:

 

Pada dekomposisi LU metode Doolittle, semua komponen diagonal matriks L bernilai 1 sehingga representasi matriks di atas menjadi:

Untuk menghitung setiap komponen matriks L dan U dari matriks A dengan ukuran n x n dapat dengan menggunakan algoritma sebagai berikut:
1. Dapatkan nilai matriks U pada baris pertama:
    untuk i = 1 sampai n

2. Hitung nilai:
    untuk i=2 sampai n

3. untuk i = 2 sampai n-1

 

                   untuk j = i + 1 sampai n

 

4. Hitung indeks terakhir:

                             

Proses dekomposisi selesai sampai disini, proses berikutnya adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier nya.

Dari dekomposisi berikut:

Matriks L dan U sudah kita dapatkan, dan dengan memisalkan:

maka

untuk mendapatkan nilai vektor y dapat dilakukan dengan substitusi maju sebagai berikut:

untuk i=2 sampai n

nilai vektor x didapatkan dengan melakukan substitusi mundur persamaan:

dengan cara:

untuk i=n-1 sampai 1

Selesai!!Sistem persamaan linier tersebut sudah dapat diselesaikan, dengan catatan:

• matriks harus square.
• tidak ada komponen diagonal bernilai nol (jika ada yang bernilai nol harus dilakukan pertukaran baris terlebih dahulu).

Sumber: Burden R.L., Faires J.D. Numerical analysis (7ed., Brooks Cole, 2001)

NB: Tulisan diambil dari salah satu tugas kuliah saya, maaf apabila penyajian equation tidak terlalu rapi..hehe..semoga bisa membantu..